Des avancées pour le modèle d’Ising

Proposé en 1925 par Wilhelm Lenz, le modèle d’Ising modélise des situations où des particules connaissent deux états différents et où leur comportement collectif est conditionné par la manière dont elles interagissent. Très prisé, ce modèle de mécanique statistique en dimension deux décrit le ferromagnétisme et ses transitions de phase.

Cédric Boutillier, du Laboratoire de probabilités, statistiques et modélisations ² CNRS/Université Paris Sorbonne/Université Paris Diderot, Béatrice de Tilière,  du Laboratoire d’analyse et de mathématiques appliquées³CNRS/Université Paris-Est Marne-La-Vallée/Université Paris-Est Créteil Val-De-Marne et Kilian Raschel, de l’Institut Denis Poisson⁴CNRS/Université d’Orléans/Université de Tours, ont étudié les différentes phases du modèle, dans un cadre géométrique étendant naturellement les réseaux réguliers.

Leurs recherches ont montré des liens avec d’une part les forêts couvrantes enracinées, issues de la théorie des graphes et, d’autre part, des laplaciens massiques, très utilisés pour décrire les effets d’un champ rendant compte de la propagation de particules. « Les forêts couvrantes avaient déjà été étudiées de cette manière par Richard Kenyon, mais sans prise en compte de la masse des particules », souligne Cédric Boutillier. Ces travaux aideront à mieux comprendre le modèle d’Ising et à en tirer de meilleurs calculs.

Inventiones mathematicae, avril 2017.